经过与多位好友的交流，将梁老师上课板书或讲过的内容整理了出来，可能存在遗漏，欢迎大家补充。

还在整理中… Nov 5, 2026

定义 1.1.1（距离的三个条件）

💡

因此，未来要证明一个空间是度量空间，就只需要证明这个空间的距离满足距离的三个条件（注意第一个条件有两点，一个是非负，一个是正定）。

例 1.1.2（C[a,b] 空间距离的定义）

讲义证明

定义 1.1.3（收敛）

一致收敛与逐点收敛的区别

不收敛的定义

不收敛的定义为：

定义 1.1.4（闭集）

一个集合不是闭集的定义

定义 1.1.5（基本列，完备）

证明非基本列的定义

💡

收敛列一定是基本列，但基本列不一定是收敛列，因为收敛列要求极限在度量空间内，基本列则只需要点列的尾端越来越靠近。

收敛列的定义：给定 ， ，且 。

老师留的两个作业（① 证明收敛列一定是基本列； ② 举出一个基本列不是收敛列的反例）

证明收敛列一定是基本列

反例： ， 。

例 1.1.6

这个可能不太会考，因为这个没什么好证明的。是利用已知的实数域完备的结论。

完备空间的闭可遗传性

网课 up 给出的证明：

up 给的第二个证明可能不太好理解，可以看下面的：

例 1.1.7（证明 (C[a, b], ρ) 是完备的）

证明过程（AI）

老师讲义

定义 1.1.8（连续）

命题 1.1.9（连续的第二种定义）

证明

必要性

用反证法证明。

充分性

💡

注意图中的 Tx 指的是 T(x)，前者是简写的形式，不是指 T 乘以 x。

定义 1.1.10（压缩映射原理 | 不动点定理）

① 证明压缩映射一定是连续映射

② 举一个反例说明连续映射不一定是压缩映射

例 1.1.11（压缩映射→不动点的证明）

这个例题后面的启发会考的概率我觉得大一些，因为思路相对简单，但又能很好的考查你是否掌握了压缩映射。不过可能太过简单反而不出了🥸

启发：

定理 1.1.12（Banach 不动点定理）

可能会将例 1.1.11 结合起来考查“证明Banach 不动点定理满足充分性，但不满足必要性”。

💡

注意是两个条件，① 空间是完备的；② T 是压缩映射。说不定会考填空题。

完备的原因：例 1.1.11 只能证明是基本列，要想不动点在空间中，需要极限在空间中。

证明过程（与 例 1.1.11 很像）

💡

还有个注意点，Banach 不动点定理是充分条件，而非必要条件。充分条件指的是，如果 A 成立，那么得到 B 成立；而必要条件指的是，如果要求 B 成立，那么 A 就一定成立。

在本定理中，充分性证明即为如果完备+压缩映射，就一定有唯一不动点，成立，这也是前面证明过程所证明的；

但对于必要性证明，前面没有提到，首先我们要找到一个函数存在唯一的不动点，但不满足两个条件之一。比方说，T(x) = 2x，存在唯一的不动点 Tx=x → x* = 0，但不是压缩映射。假设 |Tx - Ty| = |2x - 2y| ≤ α|x-y| 成立，那么 α≥2，而 α 又要求在 (0, 1) 中，矛盾。

• 例 1.1.13（不考）

• 例 1.1.14（不考）

证明积分距离下的 C[a, b] 不是完备的

证明过程（采用网课 up 的证明方式，老师讲义中的证明有问题）：

💡

也就是说，一个点列在一个距离度量下是基本列，但在另一个距离度量下可能就不是基本列了。在上述的例子中，积分距离下构造的 是基本列，可在 距离下就不是基本列了（可以令 m=2n 来证明 是不收敛于 0 的）。

定义 1.2.1（等距同构映射）

证明 还是单射

⭐定义 1.2.2（稠密子集）

稠密子集与闭子集的区别

稠密子集指的是空间 X 中的任意一个点都可以被集合 A 中的点所逼近，但不要求集合 A 中含有这个点；比如说 Q 是 R 的稠密子集。

闭子集是指“集合中的收敛点列，其极限不能跑到集合外面”。

子集不稠密的定义

定义 1.2.4（完备化空间）

命题 1.2.5（证明完备化空间的方法）

证明

书上的证明和老师的证明比下面的证明更加强，是证明一个度量空间的完备化，在等距同构的意义下是唯一的。我其实看不太懂。

不过如果只是证明命题 1.2.5 成立，即 是 的完备化空间，下面的证明就够了。不过证明中并不需要距离条件。

书本证明

• 定理 1.2.6（不考）

• 例 1.2.7（不考）

• 例 1.2.8（不考）

有界集的定义

其否命题为无界集的定义：

例 1.3.1

在任意度量空间下，有界无穷集不一定含有收敛子列。在有穷维欧式空间下，有界无穷集必含有一个收敛子列。

证明有界无穷集不一定收敛，首先要证明构造的函数是有界的，其次证明其不收敛（即收敛的函数不是连续函数）。

定义 1.3.2（列紧集）

💡

列紧集的定义很容易与稠密子集弄混，自列紧也容易与完备弄混。

稠密子集的定义是在度量空间中给定任意一个点，在 A 中都能找到一个点列收敛到这个点；而列紧指的是 A 中的任意点列在度量空间中都有收敛子列（即任意点列都会存在一个收敛子列）。

自列紧的定义是指 A 中的任意点列在度量空间中都存在收敛子列，且收敛极限在 A 中；完备指的是空间中的任意基本列的收敛极限都在空间中。前者要求是任意点列中存在，后者要求是任意基本列。

命题 1.3.3

证明（任意有界闭集是自列紧集在讲义中标记为了作业）

命题 1.3.4

证明

命题 1.3.5

证明

定义 1.3.6（ε 网）

讲义中提出的问题（对 C[0, 1] 中的 B(θ, 1) 给出一个有穷 ε 网的子集）

💡

这个定义理解的关键在于，这里的 ε 可以是我们自行设置的，它可以很大，也可以很小，比如 1-网，0.1-网，等等。

比如 [0,1] 是 M 集合，那么 [0, 0.5, 1] 就是 M 的 0.5 网。

📌

注意，{1/2} 不是 [0, 1] 的 1/2 网，因为 ε 网是用开球来定义的，不包含边界。

定义 1.3.7（完全有界）

有界与完全有界的区别

• 有界：存在某个足够大的半径，可以用一个球覆盖集合。

• 完全有界：对于任意小的半径，都能用有限个球覆盖集合。

证明完全有界一定是有界的

有界不一定是完全有界的例子

有界：在 [0, 1] 内；

不是完全有界：因为不是基本列。

否命题

定理 1.3.8（Hausdorff）

老师在黑板板书过这个定理证明，有位友人也标了星，可能是往年考过，不过证明有些复杂。记得老师说不会考很复杂的证明题，因此不打算花费太多时间在这上面。必要性证明好理解，但充分性会复杂些。

必要性证明（会稍微好理解一些）

充分性证明

❓定义 1.3.9 | 定理 1.3.10 | 定义 1.3.11

友人既没有归入明确说不考，也没有相关的笔记，过程也不太好懂，个人认为不是考查重点。

• 定理 1.3.12 | 命题 1.3.13 | 命题 1.3.14 | 定义 1.3.15 | 定理 1.3.16 | 例 1.3.17（不考）

定义 1.4.1（线性空间）

线性空间的几个概念

线性同构：

线性子空间：

线性流形：

📌

要注意，线性流形并不一定是线性子空间，只有 为 中的元素时，平移后才会是线性子空间，否则无法包含零元。

线性相关 | 线性无关：

线性基：

维数：

线性包：

线性和与直和：

定义 1.4.2（准范数）

定义 1.4.3（F* 空间 | 赋准范数线性空间）

📌

我觉得上述这段话实际上就是在用范数诱导距离，即定义 F* 空间的距离公式： 。

定义 1.4.4（Frechet 空间 | 完备的 F* 空间）

定义 1.4.9（范数 | 模）

范数的条件比准范数要更强，有范数可以推导出准范数。

定义 1.4.10（Banach 空间 | 赋范线性空间）

• 例 1.4.11 | 例 1.4.12 | 例 1.4.13 | 例 1.4.14（不考）

定义 1.4.15（范数等价）

📌

范数等价看重的更多是收敛性，而不是说距离的大小。

命题 1.4.16

充要条件的证明

📌

图中是必要性证明中，通过证明否命题不成立来实现的。否命题中，定义了线性空间中的一个向量 ，由于否命题若要成立，需要对任意的向量都成立，因此对于向量 也要成立。

推论 1.4.17

这个推论的证明特别长，书上就花了两页，

充分性和必要性证明（利用命题 1.4.16）

定理 1.4.18

💡

这个定理是基于定理前证明的一个结论：“n 维赋范线性空间的范数与其 范数等价”。这个不太好理解，不过后面用于证明完备会比较好用。

简单来说，先在赋范线性空间中定义一个范数 ，在 中定义范数 ， 通过映射（）被引入 ，这样范数 1 和 2 就是等价的了。

📌

有穷维线性空间中的任何两个范数是等价的。

推论 1.4.19

证明

设 是一个有限维 空间。因为 X 有限维，所以与 中的范数等价。而 是完备的，故 完备，从而 X 是 Banach 空间。

📌

注意，上述证明采用了一个结论“等价范数具有相同的完备性”。因为完备性是依靠基本列来证明的，而基本列要计算距离需要依靠范数，因此范数等价就意味着基本列在一个距离下收敛，在另一个等价范数距离下也依旧收敛，因此等价范数具有相同的完备性。

推论 1.4.20

证明

定义 1.4.21（次线性泛函 | 半范数 | 半模）

📌

半范数加上正定性（即 当且仅当 ）后就是范数了。

❓定理 1.4.22

这个老师讲义中也没有给出证明，不清楚课上是否板书。

❓定理 1.4.23（最佳逼近元）

4.5 节最佳逼近问题没怎么弄懂，也不太清楚这个会不会以综合题的形式考查。不过 4.5 节最佳逼近元当时我有听一部分，老师就是将这部分内容念了一遍下来，印象中是没有板书证明的，因此个人认为不是考查重点。

❓定义 1.4.24（严格凸）

仍然是 4.5 节最佳逼近问题的一部分，个人认为不是考查重点。

❓定理 1.4.25

仍然是 4.5 节最佳逼近问题的一部分，个人认为不是考查重点。

• 例 1.4.26 | 例 1.4.27 （不考）

• 4.7 节商空间（不考）

定义 1.5.1（凸集）

否命题

等价形式

凸与严格凸的区别与联系

之前没有介绍过严格凸集，线性空间中有个“严格凸的”，询问了 ai，有个严格凸集的概念为：

💡

严格凸集一定可以得到凸集。

⭐命题 1.5.2（凸集的交集也是凸集）

有些题梁老师会让学生上去写，我不记得哪些题是这样的了，不过本题是的。让学生上去写的题目都很有可能是考试的题。

证明

凸集的任意并不一定是凸集

凸集经过平移或旋转后，仍然是凸集

定义 1.5.3（凸包 | 凸组合）

凸包与凸组合的关系

凸包是包含 A 的最小凸集，凸组合是一种运算。

A 中所有元素的有限凸组合构成了 A 的凸包，如果 A 是凸集，那么凸包就是 A 本身。

⭐命题 1.5.4

老师曾让某位同学上去写过部分。这个命题证明起来比较长，但思路却很容易理解，有可能作为考题。

📌

证明的思路是：

1. 先令 A 的凸包为 co(A)，等式右侧的一大串为 S，则证明转换为 co(A) = S；

2. 要证明两个集合相等，则需要证明 A 的凸包是 S 的子集， 且 S 是 A 的凸包的子集；

3. 先证明 co(A) 是 S 的子集，这里需要利用一个特性： 如果 A 是 S 的子集，且 S 是凸集，那么 S 必然包含 co(A)（毕竟 A 的凸包就是包含 A 的最小凸集）；

4. 再证明 S 是 co(A) 的子集，利用的是数学归纳法，先证明 2 个、3 个元素都满足条件，推广到 n 个元素。

讲义证明

黑板板书

❓

证明过程中可能会有的几个疑问：

1. 为什么图中的证明中，取 n = 1 就能够证明 co(A) 是 S 的子集？

因为要证明一个集合是另一个集合的子集，就是要证明一个集合中的所有元素都在另一个集合中。在上述证明中，我们取 ，相当于取了 A 中的所有元素，此时如果令 n=1，λ=1，就会得到 ，即 A 中的所有元素都在 S 中。

2. 为什么证明 S 是凸集的过程中，引入 a 和 b 就能够证明组合后的元素在 S 中？

实际上，这利用的是 S 定义，只要元素是属于 A 的，同时系数是非负且相加等于 1 的，那么其组合的元素就在 S 内。因此：

这个看起来很复杂，实际上就是两个凸组合合并为了一个新的凸组合。在新的凸组合中， 和 都是 A 中的元素，，且 :

那么根据 S 的定义，就能够得出新元素是属于 S 的。

3. 为什么证明 S 是 co(A) 子集时要使用数学归纳法？

本质上这是利用了凸集的定义来证明，由于凸集是对两个元素定义的，因此，对于有限多个元素，需要利用数学归纳法转换为两个元素来分析，如果都满足凸集定义，那么说明 S 是 co(A) 的子集。可以看 ai 的解析过程，更容易理解：

定义 1.5.5（Minkowski 泛函）

💡

初看时不太好理解，实际上就是在 上随意取一个点 x，都能够找到一个集合 C，将其至少放大 倍，使其能够包含 x，此时 。

推论 1.5.6（Minkowski 泛函的三条性质）

讲义证明

💡

证明中比较不好理解的就是，证明了 ，为什么就会得到 。

实际上这个利用的是 Minkowski 泛函的定义，根据定义，若 ，那么 P(x+y) 就会存在一个下确界，由于 和 是任意取的，但它们的和可能并非是这个下确界，因此就有 ，而 P(x+y) 的值就是这个下确界，即 。再将两个 的定义代入就是图中的式子了。

对于第三点，如果 P(x) 和 P(y) 是无穷的，如何证明

定义 1.5.7（吸收 | 对称）

命题 1.5.8（证明吸收凸集和对称凸集）

💡

P(x) 为实值函数，等价于条件： 。

吸收凸集的证明

第一行是必要性证明，第二行是充分性证明。

关于充分性证明，可以会存在的疑惑是，为什么 P(x) 取不到无穷了，还能够使用 inf{…} 的定义？实际上，最初定义为能够取到正无穷，是考虑到空集，空集的下确界取为正无穷。而对于实值函数而言，集合不会取空集，这样 P(x) 的范围就是 [0, +∞)，因此，仍然可以使用原先的定义。

对称凸集的证明

证明的方向不要搞错了，这个是 “C 是对称凸集 ”。

定义 1.5.9（均衡）

❓命题 1.5.10（均衡吸收凸集→半范数）

这个定理老师在讲义中也没有给出证明过程，个人认为是不考的。

💡

其实这个命题就是将三个条件分别与半范数的三个条件对应。

回顾前面的内容，半范数的定义为：

根据吸收性，可以得到 P(x) 是实值函数，第一条得到证明；

根据均衡性，可以得到 P(x) 的复齐次性（吸收性得到的是实齐次性），第二条得到证明；

根据 C 的凸集性质，采用过去的证明 Minkowski 第三条性质的方法，即可证明第三条性质。

❓命题 1.5.11

这道题老师上课板书了，但证明过程特别长，讲义中的证明就足有两页，因此大概率是不考的。

• 推论 1.5.12（不考）

• 5.2 节 | 5.3 节（不考）

定义 1.6.1（共轭双线性函数 | 二次型）

💡

这里只是定义了一个函数 a(x, y) ，这个函数是将线性空间映射到数域 K，还没有正式成为内积。只是，要知道，a(x, y) 是属于 K 的，是个数；同理，q(x) 也是个数，所以命题 1.6.2 才要证明满足某个条件时，这是个实数。

命题 1.6.2（q(x) 是个实数的充要条件）

讲义证明

定义 1.6.3（内积 | 半内积 | 半内积空间）

💡

满足共轭对称性，实际上就自动满足 。在括号外面有函数名，如 a(x, x) 时是指共轭双线性函数，如果只有括号，就特指内积。

📌

一个函数要是内积，要满足两个条件：

1. 是共轭双线性函数，必须满足定义 1.6.1 的两个条件；

2. 是个内积，必须满足内积的两个条件。

例 1.6.4（实数域和复数域的内积）

📌

要证明复数域的内积定义，要回忆起共轭的两个性质：

1. 和的共轭等于共轭的和；

2. 积的共轭等于共轭的积；

讲义证明（只证明了复数域）

📌

如果能够使用命题 1.6.2 的结论，第三点证明也可以采用证明 (x, x) 的结果是一个实数来进行。

• 在证明实数域的时候，要注意， 和 都是实数，因此其共轭等于自身： 。

例 1.6.5（ 空间的内积）

讲义中没有证明，不过证明 空间为内积空间看着很难，实际上与 1.6.4 的证明同理。

什么是 空间

AI 证明

• 例 1.6.6 | 例 1.6.7（不考）

1. 例 1.6.28（存疑）；

2. 推论 1.6.35 至 1.6.37（1.6.35 存疑）；

1. 命题 1.6.13；

2. 引理 1.6.15；

3. 例 1.6.16；

4. 引理 1.6.20；

5. 引理 1.6.21；

6. 定理 1.6.23；

7. 例 1.6.28；

8. 定理 1.6.30；

9. 推论 1.6.35